الآن نقدم دراسة تابع الجزء الصحيح ورسمه مع بعض الأمثلة والتمارين والصبغ والتعريفات المهمة التي تخص دالة الجزء الصحيح أو تابع الجزء الصحيح حتى تتمكن من فهم جزئية تابع الجزء الصحيح وفهم حيثيات رسمه على المحاور.
دراسة تابع الجزء الصحيح ورسمه (التعريف)
من أجل دراسة تابع الجزء الصحيح ورسمه يجب علينا معرفة بعض الأساسيات وأولها تعريف تابع الجزء الصحيح أصلا.
ويمكننا تعريف تابع الجزء الصحيح لمتغير حقيقي نفرضه: x على أنها أكبر عدد صحيح نسبي n يحقق الصيغة التالية n≤x :
E:R→Z
x→E (x)= max {n∈Z|n≤x}
رمز تابع الجزء الصحيح
يمكننا عند دراسة تابع الجزء الصحيح ورسمه أن نقابل الرمز:E(x) أو floor(x) أو [x] أو ⌊x⌋.. وكلها رموز تعبر عن تابع الجزء الصحيح أو دالة الجزء الصحيح، أو Floor Function.
وبالنسبة للأمثلة الآتية سوف نداوم على استخدام الرمز E(x) لنعبر عن الجزء الصحيح للمتغير x.
خصائص تابع الجزء الصحيح
إذا كانت x ∈ R انطلاقا من تعريف دالة الجزء الصحيح, لدينا :
E(x)=n ⟺ n ≤ x < n+1
⟺ x−1 < n ≤ x
ويمكننا أن نستخدم صيغة أخرى
∀x ∈ R : x−1< E (x) ≤ x
: E(x) ≤ x < E(x) +1
أمثلة على تابع الجزء الصحيح
- E(36)=5
- E(999)=1
- E(−3)=−3
- E(−14)=−4
ليكن n ,m ∈ Z و x أعداد حقيقية. يكون لدينا:
n < x ⟹ n ≤ E(x)
x < m ⟹ E(x)<m
وهنا إذا كانت x ∈]n,m[ بحيث n وm أعداد صحيحة نسبية، تكون لدينا: E(x) ∈ {n,n+1,⋯,m−1}.
تمارين على دالة الجزء الصحيح
تمرين 1: بين الخواص التالية:
(∀x∈R ) (∀n∈Z) : E (x+n) = n+E (x)
(∀x,y∈R) :E (x) + E (y) ≤ E (x+y)≤ E (x) + E (y) +1
(∀x∈R) (∀n∈N∗): 0 ≤ E (nx) – nE (x)≤ n −1
تمرين 2 : إذا كانت a,b ∈ N∗.
بالقسمة الإقليدية للعدد a على b : 0≤ r < b و a= bq + r
بين ما في الصورة التالية:
دراسة تابع الجزء الصحيح ورسمه
لنرسم دالة الجزء الصحيح علينا معرفة أن:
- الدالة E تزايدية على IR وهذا الإثبات:
- نفرض أن x , y ∈ R بحيث x ≤ y
- تكون لدينا المجموعتين Ax ={n ∈ Z| n ≤ x} Ay = {n ∈ Z| n ≤ `y}
- لدينا x ≤ y ⟹Ax ⊂A y
- إذن max Ax ≤max Ay
- إذن E(x) ≤ E(y)
- الدالة E غير متصلة على n ∈ Z
- الدالة E متصلة على يمين كل نقطة a من IR
تلك كانت نظرة سريعة على دراسة تابع الجزء الصحيح ورسمه مع بعض التمارين والأمثلة والإثباتات، وتصور عام عن رسم تابع الجزء الصحيح.